Moving Average Forecasting In R

R - Previsão de Abordagens para Previsão editar ARIMA (AutoRegresive Integrated Moving Average) ETS (Modelo de espaço de estados de suavização exponencial) Vamos discutir como esses métodos funcionam e como usá-los. Vista geral do pacote de previsões edit Exponential Smoothing editar Nomes AKA: média ponderada exponencialmente ponderada (EWMA) Equivalente a ARIMA (0,1,1) modelo sem termo constante Usado para dados suavizados para apresentação fazem previsões simples de média móvel: as observações passadas também estão ponderadas exponencialmente Suavização: atribui pesos exponencialmente decrescentes ao longo do tempo Fórmula xt - sequência de dados brutos st - saída do algoritmo de suavização exponencial (estimativa do próximo valor de x) - fator de suavização. 0160lt160160lt1601.Choosing direito nenhum modo formal de escolher a técnica estatística pode ser usado para otimizar o valor de (por exemplo, OLS) quanto maior for o próximo obtém a previsão ingênua (as mesmas portas que a série original com um período lag) Double Exponential Smoothing A suavização exponencial não funciona bem quando há uma tendência (haverá sempre um viés) A dupla suavização exponencial é um grupo de métodos que lidam com o problema Holt-Winters dupla suavização exponencial Editar E para t gt 1 por onde é o fator de suavização de dados. 0160lt160160lt1601, e é o fator de suavização de tendência. 0160lt160160lt1601. Saída F tm - uma estimativa do valor de x no tempo tm, mgt0 com base nos dados brutos até o tempo t A edição de suavização exponencial tripla leva em consideração as mudanças sazonais, bem como as tendências sugeridas pela primeira vez por Holts estudante, Xt - sequência de dados brutos das observações t 1601600 L comprimento um ciclo de mudança sazonal O método calcula: uma linha de tendência para os índices sazonais de dados que pesam os valores na linha de tendência com base no ponto em que esse ponto de tempo cai no ciclo de comprimento L. S t representa o valor suavizado da parte constante para o tempo t. Bt representa a seqüência das melhores estimativas da tendência linear que se sobrepõem às mudanças sazonais ct é a seqüência dos fatores de correção sazonal ct é a proporção esperada da tendência prevista a qualquer momento t mod L no ciclo que as observações assumem To Inicializar os índices sazonais c tL deve haver pelo menos um ciclo completo nos dados A saída do algoritmo é novamente escrita como F tm. Uma estimativa do valor de x no tempo tm, mgt0 com base nos dados brutos até o tempo t. A suavização exponencial tripla é dada pelas fórmulas onde está o fator de suavização de dados. 0160lt160160lt1601, é o fator de suavização de tendência. 0160lt160160lt1601, e é o fator de suavização da mudança sazonal. 0160lt160160lt1601. A fórmula geral para a estimativa da tendência inicial b 0 é: Definir as estimativas iniciais para os índices sazonais c i para i 1,2. L é um pouco mais envolvido. Se N é o número de ciclos completos presentes nos seus dados, então: Note que A j é o valor médio de x no jésimo ciclo de seus dados. ETS editar Alteração de parâmetros edit 8.4 Movendo modelos médios Em vez de usar valores passados ​​da variável de previsão em uma regressão, um modelo de média móvel usa erros de previsão passados ​​em um modelo de regressão. Y e teta teta e dots theta e, onde et é ruído branco. Referimo-nos a isto como um modelo de MA (q). Evidentemente, não observamos os valores de et, então não é realmente regressão no sentido usual. Observe que cada valor de yt pode ser considerado como uma média móvel ponderada dos últimos erros de previsão. No entanto, os modelos de média móvel não devem ser confundidos com o alisamento médio móvel discutido no Capítulo 6. Um modelo de média móvel é usado para prever valores futuros, enquanto o alisamento médio móvel é usado para estimar o ciclo tendencial de valores passados. Figura 8.6: Dois exemplos de dados de modelos de média móvel com diferentes parâmetros. Esquerda: MA (1) com y t 20e t 0,8e t-1. Direita: MA (2) com y t e t - e t-1 0,8e t-2. Em ambos os casos, e t é normalmente distribuído ruído branco com média zero e variância um. A Figura 8.6 mostra alguns dados de um modelo MA (1) e um modelo MA (2). Alterando os parâmetros theta1, dots, thetaq resulta em diferentes padrões de séries temporais. Tal como acontece com modelos autorregressivos, a variância do termo de erro e só irá alterar a escala da série, e não os padrões. É possível escrever qualquer modelo estacionário AR (p) como um modelo MA (infty). Por exemplo, usando a substituição repetida, podemos demonstrar isso para um modelo AR (1): begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) amp phi12y phi1 e amp phi13y phi12e phi1 e amptext final Fornecido -1 lt phi1 lt 1, o valor de phi1k será menor à medida que k for maior. Assim, eventualmente, obtemos yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, um processo MA (infty). O resultado inverso é válido se impomos algumas restrições nos parâmetros MA. Em seguida, o modelo MA é chamado invertible. Ou seja, que podemos escrever qualquer processo de MA (q) invertível como um processo AR (infty). Os modelos Invertible não nos permitem simplesmente converter modelos MA para modelos AR. Eles também têm algumas propriedades matemáticas que torná-los mais fáceis de usar na prática. As restrições de inversibilidade são semelhantes às restrições de estacionaridade. Para um modelo MA (1): -1lttheta1lt1. Para um modelo MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Condições mais complicadas mantêm-se para qge3. Novamente, R irá cuidar dessas restrições ao estimar os modelos. Previsão média de movimento Os modelos de previsão média móvel são ferramentas poderosas que ajudam os gerentes a tomar decisões de previsão instruídas. Uma média móvel é usada principalmente para prever curtos dados de intervalo histórico. Esta ferramenta, juntamente com outras ferramentas de previsão é agora computadorizado, como no Excel, o que torna fácil de usar. Em relação à média móvel de previsão, leia a seguinte tarefa. Obter os dados de preços diários nos últimos cinco anos para três ações diferentes. Os dados podem ser obtidos na Internet usando as seguintes palavras-chave: dados de preço das ações, dados de retorno, dados da empresa e retornos de ações. Crie médias de tendência de movimento com os seguintes valores: 10, 100 e 200. Grafique os dados com o Excel. Crie médias com média centrada com os seguintes valores: 10, 100 e 200. Grafique os dados com o Excel. Como as médias móveis para os mesmos valores de m comparam entre uma média tendencial e uma média móvel centrada Explique como essas médias móveis podem ajudar um analista de ações a determinar a direção do preço das ações. Forneça uma explicação detalhada com justificativas. Envie suas respostas em um documento Word de oito a dez páginas e em uma folha do Excel. Em uma página separada, cite todas as fontes usando as diretrizes APA. Xxxxxxx xxxxxxx diferentes xxxxxx xxxxxx e Microsoft foram escolhidos para xxxx análise de previsão e os preços diários xxxxxxx xx estes xxxxxx xxxxxx sobre x xxxxxx xxxxxx foram obtidos xxxxxxxxxx dos xxxx cinco xxxxx (1º xxxxxxxxrsquo2008 para xxxx novembro xxxxx xxx média móvel xxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxx tendência da média xxxxxxxx xxx centrado em movimento previsão xxxxxxx foram xxxx xx analisar as previsões xxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxx:. xxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx médios foram xxxxxxxxx em xxxxxx Xxxxxxx xxxxx xx o anexo EXCEL xxx xxx xxxx xxx previsões O gráfico a seguir mostra x 10 períodos, um período de 100 e x xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx média xxxxxxxx xxx fechamento xxxxx xx xxxxx xxxxxx xxx xxxxxxxxx xxxxx mostra x 10 período, um período de 100 xxx X xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx previsão média para preço de fechamento xx xxxxxx xxx xxx seguinte gráfico mostra x 10-período, xxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx Xxx xxxxxxx previsão xxx preço de fechamento xx estoque xxxxxxxxx: xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx Previsões: - - - mais texto segue - - - arquivo2.xlsx preview (17127 palavras) - - - muito tempo para mostrar uma visualização - - - corpo preview (0 palavras) file1.docx visualização (966 palavras) movendo xxxxxxx XXXXXXXXXXX Models xxxx xxxx xxxxxxxxx de estudo xxxx é xx xxx xxx xx conceitos xxxxx média móvel e centrado xxxxxx média xxxxxxxxxxx xxxxxxx xxx xxxxxxx xx ideal xxxxxx xxx xxxxxxxxxxxx xxx xxx xxxxxxx deste xxxxxx xx selecionado xxxxx TI xxxxxxxxxx ou seja, Infosys, xxxxx xxx xxxxxxx xxxxxxxxxx preços xxxx yahoo xxxxxxxx os dados xxx xxxx xxxxxxxxx o Período xx 11 de janeiro de 2010 xx xxx xxx 2014. xxxxx xxxxxx xxxxxxxx Tendência movendo xxxxxxx xx um dos xxx xxxx amplamente utilizado xxxxxxxxx xx xxxxxxxxx xxxxxxxx xxx que xxxxx xx xxxxxx O ruído do aleatório xxxxxxx xxxxxxxxxxxxx Este xxxxxxxxxxx é baseado no xxxx histórico xxxxxxx O xxx xxxxx ea média móvel comumente usados ​​xxxxxxxxxxx são os xxxxxx xxxxxx xxxxxxx e exponen Média móvel. Em média xxxxxx simples, xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xx xxx xxx xx xx ndash x) xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx - - - mais texto segue - - - arquivo2.xlsx preview (6613 palavras) - - - muito tempo para mostrar uma visualização - - - Previsão média móvel 100 respostas corretas Word-doc e excel Uma visualização do corpo (9 palavras) xxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxx responde Palavra-doc xxx xxxxx xx file1.doc visualização (231 palavras) obter dados de preços xxxxx xxxx nos últimos cinco anos por três dados xxxxxxx diferentes xxx xx xxxxxxxx xxxx o xxxxxxxx usando xxx seguintes dados de preços xxxxx xxxxxxxxx, dados xxxxxx, Dados da empresa e retornos das ações. Xxx xxxx xx obtido xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx dados históricos xxxx xxx xxxxx empresas. xxx xxxxxxx xxx xxx última empresa preços xxx xxxxx são dadas para xxxxxxx UTi Worldwide xxxx (UTIW) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxampxxxxampxxxampc2006ampxxxxampxxxampxxxxxxampgd xxxxxx-tendência movendo xxxxxxxx xxxx xxx xxxxxxxxx valores xxx xx 10, xxxx e 200. dados xxxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxxxx Criar centrado em movimento xxxxxxxx xxxx o Xxxxxx seguinte para xx 10, 100, xxx 200. Gráfico xxx xxxx com xxxxxxxxx Excel. Como xxx movendo xxxxxxxx xxx xxx xxxx xxxxxx xx x xxxxxxx entre x tendência de movimento xxxxxxx xxx uma centrada na média móvel Do xxxxx xxxxxx xxx xxxxx xxxxxxxxxxxx xx pode ver xxxx xxxxx xxxxxx média xx - - - mais texto segue - - - file2.xls preview (150 palavras) - - - muito tempo para mostrar uma visualização - - - corpo preview (6 palavras) xxxxxx ver arquivo anexado xxx xxxxxxx arquivo1.xlsx preview (89 palavras) - - - muito tempo para mostrar uma visualização - - file2.doc preview (761 palavras) xxxxxx Média xxxxxxxxxxx ModelsMoving média xxxxxxxxxxx modelos são poderosos xxxxx que xxxx gerentes em xxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxx decisões. A xxxxxx média xx usado principalmente para xxxxxxxx curto intervalo histórico xxxxx Este xxxx juntamente com xxxxx xxxxxxxxxxx ferramentas xxx é xxxx computadorizado como em xxxxxx que torna xx fácil de usar. No que diz respeito xx movendo previsão média, xxxx o xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx os dados xxxxx xxxxx mais de xxxx xxx cinco xxxxx xxx três xxxxxxxxx xxxxxxx dados xxx xx xxxxxxxx xxxx o xxxxxxxx xx usando palavras-chave xxx xxxxxxxxx: dados da xxxxx, empresa retorno xxxxx xxxxx xxx xxxxx xxxxxxxxxxxbullxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxx os seguintes valores formar: 10, XXX XXXX 200. o gráfico os dados xxxx xxxx Excel. bullxxxxxx XXXXXXXXXXXXXXX médias xxx seguinte forma valores: xxx 100, 200. xxx xxx xxxx xxxx Gráfico xxxxxxxxxbullxxx fazer xxx xxx xxx médias móveis mesmo xxxxxx de m comparar entre x xxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxx x xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxbullxxxxxxx xxx xxxxx - - - mais texto segue - - - Comprar o answerUsing R para Análise de Séries Temporais Series Análise Tempo este folheto itells como usar o software estatístico R para realizar algumas análises simples que são comuns em Analisando dados de séries temporais. Este livro assume que o leitor tem algum conhecimento básico de análise de séries temporais, eo foco principal do livreto não é explicar a análise de séries temporais, mas sim explicar como realizar essas análises usando R. Se você é novo em séries temporais Análise, e quer aprender mais sobre qualquer um dos conceitos apresentados aqui, eu recomendo altamente o livro Open University 8220Time series8221 (código de produto M24902), disponível na Open University Shop. Neste folheto, estarei usando conjuntos de dados de séries temporais que foram gentilmente disponibilizados por Rob Hyndman em sua Biblioteca de Dados de Série de Tempo em robjhyndmanTSDL. Se você gostar deste livreto, você pode também gostar de verificar para fora meu livreto em usar R para statistics biomedical, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. E meu livreto sobre o uso de R para análise multivariada, little-book-of-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. Leitura de dados de séries temporais A primeira coisa que você vai querer fazer para analisar seus dados de séries temporais será lê-lo em R e traçar a série de tempo. Você pode ler dados em R usando a função scan (), que assume que seus dados para pontos de tempo sucessivos estão em um arquivo de texto simples com uma coluna. Por exemplo, o arquivo robjhyndmantsdldatamisckings. dat contém dados sobre a idade de morte dos sucessivos reis da Inglaterra, começando com William o Conquistador (fonte original: Hipel e Mcleod, 1994). O conjunto de dados tem esta aparência: Somente as primeiras linhas do arquivo foram mostradas. As primeiras três linhas contêm algum comentário sobre os dados, e queremos ignorar isso quando lemos os dados em R. Podemos usar isso usando o parâmetro 8220skip8221 da função scan (), que especifica quantas linhas na parte superior de O arquivo a ser ignorado. Para ler o arquivo em R, ignorando as três primeiras linhas, digitemos: Neste caso, a idade de morte de 42 reis sucessivos da Inglaterra foi lido na variável 8216kings8217. Uma vez que você tenha lido os dados da série de tempo em R, o próximo passo é armazenar os dados em um objeto de série temporal em R, de modo que você possa usar muitas funções de R8217s para analisar dados de séries temporais. Para armazenar os dados em um objeto de série de tempo, usamos a função ts () em R. Por exemplo, para armazenar os dados na variável 8216kings8217 como um objeto de série temporal em R, digitemos: Às vezes, o conjunto de dados da série de tempo que você Podem ter sido recolhidos em intervalos regulares que foram menos de um ano, por exemplo, mensal ou trimestral. Nesse caso, você pode especificar o número de vezes que os dados foram coletados por ano usando o parâmetro 8216frequency8217 na função ts (). Para dados de séries temporais mensais, você define a freqüência12, enquanto que para dados de séries temporais trimestrais, você define a freqüência4. Você também pode especificar o primeiro ano em que os dados foram coletados eo primeiro intervalo nesse ano usando o parâmetro 8216start8217 na função ts (). Por exemplo, se o primeiro ponto de dados corresponde ao segundo trimestre de 1986, você deve definir startc (1986,2). Um exemplo é um conjunto de dados do número de nascimentos por mês na cidade de Nova York, de janeiro de 1946 a dezembro de 1959 (originalmente coletados por Newton). Estes dados estão disponíveis no arquivo robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Podemos ler os dados em R, e armazená-lo como um objeto de séries temporais, digitando: Da mesma forma, o robjhyndmantsdldatadatafancy. dat arquivo contém as vendas mensais para uma loja de souvenirs em uma cidade resort de praia em Queensland, Austrália, de janeiro de 1987 a dezembro de 1993 (dados originais de Wheelwright e Hyndman, 1998). Podemos ler os dados em R escrevendo: Plotting Time Series Depois de ter lido uma série de tempo em R, a próxima etapa é geralmente fazer um gráfico dos dados de séries temporais, o que você pode fazer com a função plot. ts () Em R. Por exemplo, para traçar a série de tempo da idade de morte de 42 reis sucessivos de Inglaterra, digitemos: Podemos ver a partir do gráfico de tempo que esta série temporal poderia provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo, uma vez que as flutuações aleatórias Nos dados são aproximadamente constantes em tamanho ao longo do tempo. Da mesma forma, para traçar a série de tempo do número de nascimentos por mês em Nova York, eu tipo: Eu posso ver desta série de tempo que parece haver uma variação sazonal no número de nascimentos por mês: há um pico cada verão , E uma calha todo inverno. Novamente, parece que esta série temporal poderia provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo, pois as flutuações sazonais são aproximadamente constantes em tamanho ao longo do tempo e não parecem depender do nível da série temporal, e as flutuações aleatórias também parecem ser Aproximadamente de tamanho constante ao longo do tempo. Da mesma forma, para traçar a série de tempo das vendas mensais para a loja de souvenirs em uma cidade resort de praia em Queensland, Austrália, digite: Neste caso, parece que um modelo aditivo não é apropriado para descrever esta série de tempo, uma vez que o tamanho Das flutuações sazonais e as flutuações aleatórias parecem aumentar com o nível das séries temporais. Assim, pode ser necessário transformar as séries temporais para obter uma série temporal transformada que pode ser descrita usando um modelo aditivo. Por exemplo, podemos transformar a série temporal calculando o log natural dos dados originais: Aqui podemos ver que o tamanho das flutuações sazonais e as flutuações aleatórias na série de tempo log-transformada parecem ser praticamente constantes ao longo do tempo e não Não dependem do nível da série temporal. Assim, a série temporal log-transformada pode provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo. Decomposição de séries temporais A decomposição de uma série temporal significa separá-la em seus componentes constituintes, que normalmente são uma componente de tendência e uma componente irregular, e se é uma série temporal sazonal, uma componente sazonal. Decomposição de dados não sazonais Uma série temporal não-sazonal consiste em um componente de tendência e um componente irregular. A decomposição da série temporal envolve a tentativa de separar as séries temporais desses componentes, ou seja, estimar a componente de tendência ea componente irregular. Para estimar a componente de tendência de uma série temporal não-sazonal que pode ser descrita utilizando um modelo aditivo, é comum utilizar um método de suavização, tal como calcular a média móvel simples das séries temporais. A função SMA () no pacote 8220TTR8221 R pode ser usada para suavizar dados de séries temporais usando uma média móvel simples. Para usar esta função, primeiro precisamos instalar o pacote 8220TTR8221 R (para obter instruções sobre como instalar um pacote R, consulte Como instalar um pacote R). Depois de instalar o pacote 8220TTR8221 R, você pode carregar o pacote 8220TTR8221 R digitando: Você pode então usar a função 8220SMA () 8221 para suavizar dados de séries temporais. Para usar a função SMA (), você precisa especificar a ordem (span) da média móvel simples, usando o parâmetro 8220n8221. Por exemplo, para calcular uma média móvel simples de ordem 5, definimos n5 na função SMA (). Por exemplo, como discutido acima, a série de tempo da idade de morte de 42 reis sucessivos de Inglaterra aparece é não-sazonal, e pode provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo, desde que as flutuações aleatórias nos dados são aproximadamente constantes no tamanho sobre Tempo: Assim, podemos tentar estimar o componente de tendência desta série de tempo por alisamento usando uma média móvel simples. Para suavizar a série de tempo usando uma média móvel simples de ordem 3, e traçar os dados da série de tempo suavizado, nós tipo: Ainda parece haver um monte de flutuações aleatórias na série de tempo suavizada usando uma média móvel simples de ordem 3. Assim, para estimar a componente de tendência de forma mais precisa, poderíamos tentar suavizar os dados com uma média móvel simples de uma ordem mais elevada. Isso leva um pouco de tentativa e erro, para encontrar a quantidade certa de suavização. Por exemplo, podemos tentar usar uma média móvel simples de ordem 8: Os dados suavizados com uma média móvel simples de ordem 8 dão uma imagem mais clara da componente de tendência e podemos ver que a idade de morte dos reis ingleses parece Ter diminuído de cerca de 55 anos para cerca de 38 anos de idade durante o reinado dos primeiros 20 reis e, em seguida, aumentou depois que a cerca de 73 anos de idade até o final do reinado do rei 40 na série cronológica. Decomposição de Dados Sazonais Uma série temporal sazonal consiste em um componente de tendência, uma componente sazonal e uma componente irregular. A decomposição da série de tempo significa separar as séries temporais nestas três componentes: isto é, estimar estas três componentes. Para estimar a componente de tendência e a componente sazonal de uma série temporal sazonal que pode ser descrita utilizando um modelo aditivo, podemos usar a função 8220decompose () 8221 em R. Esta função estima a tendência, os componentes sazonais e irregulares de uma série temporal que Podem ser descritos usando um modelo aditivo. A função 8220decompose () 8221 retorna um objeto de lista como seu resultado, onde as estimativas da componente sazonal, componente de tendência e componente irregular são armazenadas em elementos nomeados da lista de objetos, chamados 8220seasonal8221, 8220trend8221 e 8220random8221, respectivamente. Por exemplo, como discutido acima, a série de tempo do número de nascimentos por mês em Nova York é sazonal com um pico cada verão e vale cada inverno e pode provavelmente ser descrito usando um modelo aditivo desde as flutuações sazonais e aleatórias parecem Os valores estimados das componentes sazonais, de tendência e irregulares são agora armazenados em variáveis ​​nascimentos, séries, séries temporais, tendências de natalidade e nascimentos. Por exemplo, podemos imprimir os valores estimados da componente sazonal digitando: Os fatores sazonais estimados são dados para os meses de janeiro a dezembro e são os mesmos para cada ano. O maior fator sazonal é para julho (cerca de 1,46), eo menor é para fevereiro (cerca de -2,08), indicando que parece haver um pico de nascimentos em julho e um mínimo em nascimentos em fevereiro de cada ano. Podemos traçar a tendência estimada, os componentes sazonais e irregulares da série temporal usando a função 8220plot () 8221, por exemplo: O gráfico acima mostra a série de tempo original (parte superior), a componente de tendência estimada (segundo a partir do topo) A componente sazonal estimada (terceira a partir do topo) ea componente irregular estimada (parte inferior). Vemos que o componente de tendência estimada mostra uma pequena diminuição de cerca de 24 em 1947 para cerca de 22 em 1948, seguido por um aumento constante de então para cerca de 27 em 1959. Ajustes Sazonais Se você tem uma série temporal sazonal que pode ser descrita usando Um modelo aditivo, você pode ajustar sazonalmente a série de tempo estimando a componente sazonal e subtraindo a componente sazonal estimada da série temporal original. Podemos fazer isso usando a estimativa da componente sazonal calculada pela função 8220decompose () 8221. Por exemplo, para ajustar sazonalmente a série temporal do número de nascimentos por mês na cidade de Nova York, podemos estimar o componente sazonal usando 8201, e depois subtrair o componente sazonal da série temporal original: Ajustadas sazonalmente usando a função 8220plot () 8221, digitando: Você pode ver que a variação sazonal foi removida das séries temporais ajustadas. A série de tempo ajustada sazonalmente agora apenas contém a componente de tendência e uma componente irregular. Previsões usando suavização exponencial A suavização exponencial pode ser usada para fazer projeções de curto prazo para dados de séries temporais. Suavização Exponencial Simples Se você tiver uma série de tempo que pode ser descrita usando um modelo aditivo com nível constante e sem sazonalidade, você pode usar a suavização exponencial simples para fazer previsões de curto prazo. O método de suavização exponencial simples fornece uma maneira de estimar o nível no ponto de tempo atual. A suavização é controlada pelo parâmetro alfa para a estimativa do nível no ponto de tempo atual. O valor de alfa está entre 0 e 1. Valores de alfa que são perto de 0 significam que pouco peso é colocado sobre as observações mais recentes ao fazer previsões de valores futuros. Por exemplo, o arquivo robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat contém a precipitação anual total em polegadas para Londres, de 1813 a 1912 (dados originais de Hipel e McLeod, 1994). Podemos ler os dados em R e plotá-los digitando: Você pode ver a partir do gráfico que existe um nível aproximadamente constante (a média permanece constante em cerca de 25 polegadas). As flutuações aleatórias nas séries temporais parecem ser aproximadamente constantes em tamanho ao longo do tempo, pelo que é provavelmente apropriado descrever os dados utilizando um modelo aditivo. Assim, podemos fazer previsões usando suavização exponencial simples. Para fazer previsões usando a suavização exponencial simples em R, podemos ajustar um modelo preditivo de suavização exponencial simples usando a função 8220HoltWinters () 8221 em R. Para usar HoltWinters () para suavização exponencial simples, precisamos definir os parâmetros betaFALSE e gammaFALSE no HoltWinters () (os parâmetros beta e gama são usados ​​para suavização exponencial de Holt8217s ou suavização exponencial de Holt-Winters, conforme descrito abaixo). A função HoltWinters () retorna uma variável de lista, que contém vários elementos nomeados. Por exemplo, para usar a suavização exponencial simples para fazer previsões para a série temporal de precipitação anual em Londres, digitemos: A saída de HoltWinters () nos diz que o valor estimado do parâmetro alfa é de cerca de 0,024. Isto é muito próximo de zero, dizendo-nos que as previsões são baseadas em observações recentes e menos recentes (embora um pouco mais peso é colocado em observações recentes). Por padrão, HoltWinters () apenas faz previsões para o mesmo período coberto por nossa série de tempo original. Neste caso, nossa série de tempo original incluiu a precipitação para Londres de 1813-1912, assim que as previsões são também para 1813-1912. No exemplo acima, armazenamos a saída da função HoltWinters () na variável de lista 8220rainseriesforecasts8221. As previsões feitas por HoltWinters () são armazenadas em um elemento nomeado da variável de lista chamado 8220fitted8221, para que possamos obter seus valores digitando: Nós podemos traçar a série de tempo original contra as previsões digitando: O gráfico mostra a série de tempo original em Preto, e as previsões como uma linha vermelha. A série de previsões de tempo é muito mais suave do que a série de tempo dos dados originais aqui. Como medida da precisão das previsões, podemos calcular a soma de erros quadrados para os erros de previsão na amostra, isto é, os erros de previsão para o período de tempo coberto por nossa série temporal original. A soma de quadrado de erros é armazenado em um elemento nomeado da variável de lista 8220rainseriesforecasts8221 chamado 8220SSE8221, para que possamos obter o seu valor, digitando: Ou seja, aqui a soma de quadrados de erros é 1828.855. É comum em suavização exponencial simples usar o primeiro valor na série de tempo como o valor inicial para o nível. Por exemplo, na série de tempo para a precipitação em Londres, o primeiro valor é 23.56 (polegadas) para a precipitação em 1813. Você pode especificar o valor inicial para o nível na função HoltWinters () usando o 8220l. start8221 parâmetro. Por exemplo, para fazer previsões com o valor inicial do nível definido para 23.56, digite: Como explicado acima, por padrão HoltWinters () apenas faz previsões para o período de tempo coberto pelos dados originais, que é 1813-1912 para a precipitação Séries temporais. Podemos fazer previsões de pontos de tempo adicionais usando a função 8220forecast. HoltWinters () 8221 no pacote R 8220forecast8221. Para usar a função forecast. HoltWinters (), primeiro precisamos instalar o pacote 8220forecast8221 R (para obter instruções sobre como instalar um pacote R, consulte Como instalar um pacote R). Depois de instalar o pacote 8220forecast8221 R, você pode carregar o pacote 8220forecast8221 R digitando: Ao usar a função forecast. HoltWinters (), como seu primeiro argumento (input), você passa o modelo preditivo que você já montou usando o método Função HoltWinters (). Por exemplo, no caso da série temporal de precipitação, armazenamos o modelo preditivo feito usando HoltWinters () na variável 8220rainseriesforecasts8221. Você especifica quantos pontos de tempo adicionais você deseja fazer previsões usando o parâmetro 8220h8221 em forecast. HoltWinters (). Por exemplo, para fazer uma previsão de precipitação para os anos 1814-1820 (8 anos a mais) usando forecast. HoltWinters (), digitemos: A função forecast. HoltWinters () fornece a previsão para um ano, um intervalo de previsão de 80 para A previsão, e um intervalo de previsão de 95 para a previsão. Por exemplo, a precipitação prevista para 1920 é de cerca de 24,68 polegadas, com um intervalo de previsão de 95 (16,24, 33,11). Para traçar as previsões feitas por forecast. HoltWinters (), podemos usar a função 8220plot. forecast () 8221: Aqui as previsões para 1913-1920 são traçadas como uma linha azul, o intervalo de previsão de 80 como uma área sombreada laranja eo 95 como uma área sombreada amarela. Os 8216 erros de planejamento8217 são calculados como os valores observados menos os valores previstos, para cada ponto de tempo. Só podemos calcular os erros de previsão para o período de tempo coberto por nossa série de tempo original, que é 1813-1912 para os dados de precipitação. Como mencionado acima, uma medida da precisão do modelo preditivo é a soma de quadrados-erros (SSE) para os erros de previsão na amostra. Os erros de previsão na amostra são armazenados no elemento nomeado 8220residuals8221 da variável de lista retornada por forecast. HoltWinters (). Se o modelo preditivo não puder ser melhorado, não deve haver correlações entre erros de previsão para previsões sucessivas. Em outras palavras, se houver correlações entre erros de previsão para previsões sucessivas, é provável que as previsões de suavização exponencial simples possam ser melhoradas por outra técnica de previsão. Para descobrir se este é o caso, podemos obter um correlograma dos erros de previsão na amostra para os intervalos 1-20. Podemos calcular um correlograma dos erros de previsão usando a função 8220acf () 8221 em R. Para especificar o atraso máximo que queremos ver, usamos o parâmetro 8220lag. max8221 em acf (). Por exemplo, para calcular um correlograma dos erros de previsão na amostra para os dados de precipitação de Londres para os intervalos de 1 a 20, digitemos: Você pode ver a partir do correlograma da amostra que a autocorrelação no intervalo 3 está apenas tocando os limites de significância. Para testar se existe evidência significativa de correlações não nulas nos intervalos 1-20, podemos realizar um teste de Ljung-Box. Isso pode ser feito em R usando a função 8220Box. test () 8221. O atraso máximo que queremos ver é especificado usando o parâmetro 8220lag8221 na função Box. test (). Por exemplo, para testar se há autocorrelações não nulas nos intervalos de 1 a 20, para os erros de previsão na amostra para dados de precipitação de Londres, digitemos: Aqui, a estatística de teste de Ljung-Box é de 17,4 eo valor de p é de 0,6 , Então há pouca evidência de autocorrelações não nulas nos erros de previsão na amostra nos intervalos 1-20. Para ter certeza de que o modelo preditivo não pode ser melhorado, também é uma boa idéia verificar se os erros de previsão são normalmente distribuídos com média zero e variância constante. Para verificar se os erros de previsão têm variância constante, podemos fazer um gráfico de tempo dos erros de previsão na amostra: O gráfico mostra que os erros de previsão na amostra parecem ter variação aproximadamente constante ao longo do tempo, embora o tamanho das flutuações em O início da série temporal (1820-1830) pode ser ligeiramente menor do que em datas posteriores (por exemplo, 1840-1850). Para verificar se os erros de previsão são normalmente distribuídos com média zero, podemos traçar um histograma dos erros de previsão, com uma curva normal sobreposta que tem média zero eo mesmo desvio padrão que a distribuição dos erros de previsão. Para fazer isso, podemos definir uma função R 8220plotForecastErrors () 8221, abaixo: Você terá que copiar a função acima em R para usá-la. Você pode então usar plotForecastErrors () para plotar um histograma (com curva normal sobreposta) dos erros de previsão para as previsões de precipitação: O gráfico mostra que a distribuição de erros de previsão é grosso modo centrada em zero e está mais ou menos distribuída normalmente, Parece estar ligeiramente inclinado para a direita em comparação com uma curva normal. No entanto, a inclinação direita é relativamente pequena, e por isso é plausível que os erros de previsão são normalmente distribuídos com zero médio. O teste de Ljung-Box mostrou que há pouca evidência de autocorrelações não nulas nos erros de previsão na amostra, ea distribuição de erros de previsão parece ser normalmente distribuída com zero médio. Isso sugere que o método de suavização exponencial simples fornece um modelo preditivo adequado para as chuvas de Londres, o que provavelmente não pode ser melhorado. Além disso, os pressupostos de que os intervalos de previsão 80 e 95 foram baseados (que não existem autocorrelações nos erros de previsão e os erros de previsão são normalmente distribuídos com média zero e variância constante) são provavelmente válidos. Holt8217s Suavização exponencial Se você tiver uma série de tempo que pode ser descrita usando um modelo aditivo com tendência crescente ou decrescente e sem sazonalidade, você pode usar a suavização exponencial Holt8217s para fazer previsões de curto prazo. A suavização exponencial Holt8217s estima o nível ea inclinação no ponto de tempo atual. A suavização é controlada por dois parâmetros, alfa, para a estimativa do nível no ponto de tempo atual, e beta para a estimativa do declive b da componente de tendência no ponto de tempo atual. Tal como acontece com a suavização exponencial simples, os parâmetros alfa e beta têm valores entre 0 e 1 e valores próximos de 0 significam que pouco peso é colocado nas observações mais recentes ao fazer previsões de valores futuros. Um exemplo de uma série de tempo que pode provavelmente ser descrita usando um modelo aditivo com uma tendência e nenhuma sazonalidade é a série de tempo do diâmetro anual de saias das mulheres na bainha, de 1866 a 1911. Os dados estão disponíveis no arquivo robjhyndmantsdldatarobertsskirts. Dat (dados originais de Hipel e McLeod, 1994). Podemos ler e plotar os dados em R escrevendo: Podemos ver a partir da trama que houve um aumento no diâmetro hem de cerca de 600 em 1866 para cerca de 1050 em 1880, e que depois o diâmetro hem diminuiu para cerca de 520 em 1911 Para fazer HoltWinters () para Holt8217s suavização exponencial, precisamos definir o parâmetro gammaFALSE (o parâmetro gama é usado para suavização exponencial de Holt-Winters, como descrito abaixo). Por exemplo, para usar a suavização exponencial Holt8217s para ajustar um modelo preditivo para o diâmetro da bainha da saia, digitemos: O valor estimado de alfa é 0.84 e de beta é 1.00. Estes são ambos elevados, indicando que tanto a estimativa do valor actual do nível, como da inclinação b da componente de tendência, baseiam-se sobretudo em observações muito recentes nas séries temporais. Isso faz um bom sentido intuitivo, já que o nível ea inclinação da série de tempo mudam muito ao longo do tempo. The value of the sum-of-squared-errors for the in-sample forecast errors is 16954. We can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that, by typing: We can see from the picture that the in-sample forecasts agree pretty well with the observed values, although they tend to lag behind the observed values a little bit. If you wish, you can specify the initial values of the level and the slope b of the trend component by using the 8220l. start8221 and 8220b. start8221 arguments for the HoltWinters() function. It is common to set the initial value of the level to the first value in the time series (608 for the skirts data), and the initial value of the slope to the second value minus the first value (9 for the skirts data). For example, to fit a predictive model to the skirt hem data using Holt8217s exponential smoothing, with initial values of 608 for the level and 9 for the slope b of the trend component, we type: As for simple exponential smoothing, we can make forecasts for future times not covered by the original time series by using the forecast. HoltWinters() function in the 8220forecast8221 package. For example, our time series data for skirt hems was for 1866 to 1911, so we can make predictions for 1912 to 1930 (19 more data points), and plot them, by typing: The forecasts are shown as a blue line, with the 80 prediction intervals as an orange shaded area, and the 95 prediction intervals as a yellow shaded area. As for simple exponential smoothing, we can check whether the predictive model could be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20. For example, for the skirt hem data, we can make a correlogram, and carry out the Ljung-Box test, by typing: Here the correlogram shows that the sample autocorrelation for the in-sample forecast errors at lag 5 exceeds the significance bounds. However, we would expect one in 20 of the autocorrelations for the first twenty lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. Indeed, when we carry out the Ljung-Box test, the p-value is 0.47, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. As for simple exponential smoothing, we should also check that the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero. We can do this by making a time plot of forecast errors, and a histogram of the distribution of forecast errors with an overlaid normal curve: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors have roughly constant variance over time. The histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Thus, the Ljung-Box test shows that there is little evidence of autocorrelations in the forecast errors, while the time plot and histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Therefore, we can conclude that Holt8217s exponential smoothing provides an adequate predictive model for skirt hem diameters, which probably cannot be improved upon. In addition, it means that the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon are probably valid. Holt-Winters Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and seasonality, you can use Holt-Winters exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt-Winters exponential smoothing estimates the level, slope and seasonal component at the current time point. Smoothing is controlled by three parameters: alpha, beta, and gamma, for the estimates of the level, slope b of the trend component, and the seasonal component, respectively, at the current time point. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk